سلسلة مسائل جيب تمام الزاوية

أثبت أن ( جـ ََ)^2 = ( ب َ )^2 + ( أ َ )^2 – 2 أ َ بَ حتا حـ

فى المثلث أ ب ء قائم فى ء
(أ ب)^2 = (أ ء )^2 + (ب ء) ^2 (1)
ولكن بء = ب حـ - ء حـ بتربيع الطرفين
(ب ء )^2 = (ب حـ ) ^2+ (ء حـ) ^2- 2 ( حـ ء ) ( ب حـ) (2)
بالتعويض بـ 2 فى 1
(أ ب)^2 = (أ ء )^2 +(ب حـ ) ^2+ (ء حـ) ^2- 2 ( حـ ء ) ( ب حـ) (3)
ولكن فى المثلث أ ء جـ قائم فى ء
(أء)^2 = (أ حـ)^2 – ( ء حـ)^2 (4)
بالتعويض بـ 4 فى 3
(أ ب)^2 = (أ حـ)^2 – ( ء حـ)^2 +(ب حـ ) ^2+ (ء حـ) ^2- 2 ( حـ ء ) ( ب حـ)
(أ ب)^2 = (أ حـ)^2 +(ب حـ ) ^2- 2 ( حـ ء ) ( ب حـ) (5)
ولكن فى المثلث أ ء جـ قائم فى ء
حـ ء= أحـ حتا حـ
(أ ب)^2 = (أ حـ)^2 +(ب حـ ) ^2- 2 ( ب حـ) ( أ حـ ) حتا حـ
اذا ( جـ ََ)^2 = ( ب َ )^2 + ( أ َ )^2 – 2 أ ب َ حتا حـ

مماسق نستنتج أ ن
(1) (أ َ)^2 = (ب َ)^2 + ( حـَ)^2 - 2(بَ) (حـَ) حتا أ
(2) (ب َ)^2 = (أ َ)^2 + ( حـَ)^2 - 2( أ َ)( حـَ) حتا ب
(3)(حـَ)^2= ( أ َ )^2 + ( بَ)^2 - 2( أ َ) ( ب َ) حتا حـ




يستخدم قانون حيب تمام الزاوية فى الحالات الاتية
(1) إذا علم أطوال أضلاع المثلث الثلاثة
(2) إذا علم طول ضلعين فى المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما

السؤال الأول
س ص ع مثلث فيه ص ع : س ع : س ص = 4 : 5 : 6 اثبت ان ق ( ع ) = 2 ق ( س )
الحل
نفرض ان
ص ع =4م , س ع=5م ، س ص=6م
جتا(ع)=((س ع)^2+(ع ص)^2 _(س ص)^2 ) / (2(س ع )(ع ص ))
=(25 م^2 +16 م^2 _36 م^2)/ (2) (5م)(4م )
=5م^2 /40 م^2
=1/8
ق (ع )=9.28 49 82 (1)

جتا (س)=((س ص )^2 +(س ع)^2 _(ع ص)^2 ) /((2) (س ص )(س ع ))
=(36 م^2 +25 م^2 _16 م^2 ) /((2) (6 ) (5))
=45 م^2 /60 م^2
=3/4
ق (س )=34.64 24 41
2 ق (س) =9.28 49 82 (2)

من 1 و 2
ينتج أن

ق ( ع ) = 2 ق ( س )
المزيد
اليكم هذا الرابط

من هنا